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수학25

1.9 The Matrix of a Linear Transformation How to demermine a matrix transformation * Ax=T(x)에서 matrix A를 몰라도 T(x) 즉, x의 image를 알고 있으면 A를 역으로 추적할 수 있다. * 항등함수의 성질에 따라 Ix=x이기 때문에 다음과 같이 vector $x=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ 를 정리할 수 있다. * 1.8 에서 배운 내용을 활용하면 T(u) + T(v) = T(u+v)이기 때문에 아래와 같이 $T(x)$를 $T(x_1e_1 + x_2e_2)$로 나눠 쓸 수가 있다. * 즉, matrix A는 $T(e_1), T(e_2)$로 이뤄져있다는 것을 알 수 있다. Theorem10. * 만약 $R^n$ 차원에서 $R^m$차원으로 linear .. 2021. 12. 20.
1.8 Introduction To Linear Transformations Matrix Multiplication * vector에 matrix를 곱하는 것은 vector를 다른 차원의 space로 이동시키는 것과 같다. Transformation * 어떤 vector의 space를 이동시키는 transformation(function, mapping으로 부를 수도 있음)은 vector x를 $R^n$ space에서 $R^m$ space의 T(x)에 할당하는 것과 같다. * T(x)를 x의 image라고 하고, image의 모든 셋을 뜻하는 T를 range라고 한다. * Transformation의 표기는 아래와 같이 3가지로 표현 가능하다. Example1) 동일한 차원에서의 transformation * 3차원 vector를 3차원 space에 transformation했다.. 2021. 12. 20.
1.7 Linear Independence Linearly Independent(선형 독립) * 만약 $R^n$ 차원의 벡터 {v1, v2, ... , vp} 들이 $x_1v_1, + x_2v_2 + ... + x_pv_p = 0$일 때(1.5에서 살펴본 Ax=0 형태의 homogeneous system이다), 1개의 trivial solution 즉, x=0의 해를 가질 때 linearly independent라고 한다. Linearly Dependent(선형 의존) * 만약 $R^n$ 차원의 벡터 {v1, v2, ... , vp} 들이 $x_1v_1, + x_2v_2 + ... + x_pv_p = 0$일 때, linearly independent와 달리 해 x가 not all zero, 즉 한 개라도 zero가 아닐 경우엔 linearly d.. 2021. 12. 20.
1.5 Solution Sets of Linear Systems Homogeneous Linear System(동차선형계) * A가 m x n matrix이고, 0은 $R^n$ 차원의 vector라고 했을 때, Ax=0 형태로 나타내어지는 linear system을 Homogeneous Linear system이라고 한다. * 이 경우 해는 2가지 경우가 존재한다. 첫 번째는 x=0이다. 이 solution은 너무도 당연한 solution이라는 뜻에서 trivial solution이라는 이름으로 불린다. * 두 번째 경우는 무수히 많은 해가 존재할 경우이다. free variable이 하나라도 있다면, nontrivial solution 즉, 무수히 많은 해가 존재하게 된다. Exercise 1) Determine whether there is a nontrivial.. 2021. 12. 15.

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