수학/Numpy로 공부하는 선형대수5 선형대수와 해석기하의 기초 벡터의 기하학적 의미 * N차원 벡터 a는 N차원의 공간에서 다음과 같다고 생각할 수 있다. 1) 벡터 a의 값으로 표시되는 점(point) 또는 2) 원점과 벡터 a의 값으로 표시되는 점을 연결한 화살표 * 벡터를 화살표로 생각할 때, 길이와 방향을 유지한 채 평행이동하는 것이 가능하다. 벡터의 길이 * 벡터 a의 길이는 norm $ ||a|| $로 정의한다. 스칼라와 벡터의 곱 * 양의 실수와 벡터를 곱하면 벡터의 방향이 변하지 않고 길이가 실수배가 된다. * 음의 실수와 벡터를 곱할 경우 벡터의 방향이 반대가 되고 길이가 실수배가 된다. 단위 벡터 * 방향에 상관 없이 길이가 1인 벡터를 단위벡터(unit vector)라고 한다. 예를 들면 다음과 같다. * 영벡터가 아닌 임의의 벡터 x에 대해 다.. 2021. 11. 22. 선형 연립방정식과 역행렬 선형 연립방정식(Systems of linear equations) * 복수의 미지수를 포함하는 복수의 선형 방정식을 선형 연립방정식 혹은 연립일차방정식이라고 한다. * M개의 미지수를 가지는 N개의 선형 연립방정식은 다음과 같다. * 이를 행렬과 벡터의 곱셈으로 표현하면 다음과 같이 표현 가능하다. * A는 계수행렬(coefficient matrix), x는 미지수 벡터(unknown vector), b를 상수 벡터(constant vector)라고 부른다. 역행렬(inverse matrix) * 원래의 행렬 A와 위와 같은 관계를 만족시키는 행렬을 역행렬이라고 한다. * 역행렬이 존재하는 행렬 : 가역행렬(invertible matrix), 정칙행렬(regular matrix), 비특이행렬(non-s.. 2021. 11. 18. 행렬의 성질 * 행렬은 여러 개의 숫자로 이뤄져있기 때문에 부호나 크기를 정의하기는 어렵지만 유사한 개념은 정의할 수 있다. 정부호와 준정부호 양의 정부호(positive definite) * 영 벡터가 아닌 모든 벡터 x에 대해 다음 부등식이 성립하면 행렬 A가 양의 정부호라고 한다. * 만약 비교 연산자에 등호가 포함되어 있으면 양의 준정부호라고 한다. * 이 방법으로 모든 행렬에 대해 양의 정부호, 준정부호를 정의할 수 있지만, 보통 대칭행렬(대각선 기준 대칭인 행렬)에 대해서만 정의한다. * 이 값은 x가 영벡터인 경우를 제외하고는 항상 0보다 크다. 이 경우 행렬 A는 양의 정부호에 해당한다. 행렬 Norm * 행렬의 norm에는 여러 정의가 있는데 여기에서는 entrywise matrix norm의 정의를.. 2021. 11. 15. 벡터와 행렬의 연산 브로드캐스팅 * 원래 덧셈, 뺄셈은 차원이 같은 두 벡터끼리만 가능하지만, 벡터와 스칼라의 경우 관례적으로 일벡터를 사용해 스칼라를 벡터로 변환한 연산을 허용한다. 선형조합(Linear Combination) * 벡터/행렬에 다음처럼 스칼라곱을 곱한 후 더하거나 밴 것을 벡터/행렬의 선형조합이라고 한다. * 벡터나 행렬을 선형조합해도 크기는 변하지 않는다. 벡터와 벡터의 곱셈 내적(inner product) * 벡터 x와 벡터 y의 내적은 다음과 같이 표기한다. 내적은 점으로도 표기할 수 있고(dot product), 기호로 나타낼 수도 있다. * 내적에는 다음과 같은 조건이 필요하다. 1. 두 벡터의 차원이 같음. 2. 앞의 벡터가 행 벡터이고 뒤의 벡터가 열 벡터의 형태를 띰. * 위에서 열거한 조건.. 2021. 11. 12. 이전 1 2 다음
