2.1 Matrix Operations

Matrix Notation

* matrix notation은 위와 같다.

Theorem 1.
Let A, B and C be matrices of the same size, and let r and s be scalars

1) A + B = B + A
2) (A+B) + C = A + (B+C)
3) A + 0 = A
4) r(A+B)=rA + rB
5) (r+s)A = rA + sA
6) r(sA) = (rs)A

* 각각의 Matrix는 column vector들로 이뤄져있기 때문에 vector의 성질을 그대로 만족하게 된다.

Matrix Multiplication

* m x n matrix A와 n x p matrix B의 곱 AB는 다음과 같이 나타낼 수 있다.

$AB = A[b_1 b_2 ... b_p]$

$=[Ab_1  Ab_2  ...  Ab_p]$

$(AB)_{ij} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + ... a_{in}b_{nj}$

 

* 결과 matrix의 i번째 row의 구성만 알고 싶다면 다음과 같이 계산한다.

$row_i (AB) = row_i (A) * B$

 

Theorem 2.

Let A be m x n matrix, and let B and C have sizes for which the indicated sums and products are defined.

1) $A(BC) = AB(C)$
2) $A(B+C) = AB+AC$
3) $(B+C)A = BA + CA$
4) $r(AB) = (rA)B = A(rB)$
5) $I_m A = A = A I_n$

 

주의사항

1) 특별한 경우를 제외하고는 보통 $AB \neq BA$이다.

 

$AB = \begin{bmatrix} 5 & 1  \\  3  & - 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 0  \\  4  & 3 \end{bmatrix}  = \begin{bmatrix} 14 & 3  \\  -2  & - 6 \end{bmatrix}$

$BA = \begin{bmatrix} 2 & 0  \\  4  & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 1  \\  3  & -2 \end{bmatrix}  = \begin{bmatrix} 10 & 2  \\  29  & - 2 \end{bmatrix}$

 

2) 만약 AB=AC 가 성립한다고 하더라도, B와 C는 같지 않을 수 있다.

 

$AB = \begin{bmatrix} 2 & -3  \\  -4  & 6  \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 8 & 4  \\  5 & 5  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & -7  \\  -2  & 14 \end{bmatrix}$

$AC = \begin{bmatrix} 2 & -3  \\  -4  & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & -2  \\  3  & 1 \end{bmatrix}  = \begin{bmatrix} 1 & -7  \\  -2  & 14 \end{bmatrix}$

 

3) 만약 AB=0일 때 꼭 A, B 둘 중 하나가 0행렬이라는 가정은 맞지 않다.

 

$AB = \begin{bmatrix} 3 & -6  \\  -1  & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 6  \\  1  & 3 \end{bmatrix}  = \begin{bmatrix} 0 & 0  \\  0  & 0 \end{bmatrix}$

 

The transpose of a Matrix

* transpose는 matrix의 row와 column을 바꾸는 것을 뜻한다. matrix A가 있을 때 표기는 $A^T$와 같이 한다.

 

Theorem 3.

Let A and B denote matrices whose sizes are appropriate for the following sums and products
1) $(A^T)^T = A$
2) $(A+B)^T = A^T + B^T$
3) For any scalar r, $(rA)^T = rA^T$
4) (AB)^T = B^T A^T