2.3 Characterization of Invertible Matrix

Theorem 8. The Invertible Matrix Theorem

Let A be a square n x n matrix. Then the following statements are equivalent
a) A is an invertible Matrix
b) There is an n x n matrix C such that CA = I, (matrix I is identity matrix)
c) The equation Ax=0 has only the trivial solution
d) A has n pivot positions
e) A is row equivalent to the identity n x n matrix
f) There is an n x n matrix D such that AD=I
g) The equation Ax=b has at least one solution for each b in $\mathbb{R}^n$
h) The columns of A span $mathbb{R}^n$
i) The linear transformation x -> Ax maps $\mathbb{R}^n$ onto $\mathbb{R}^n$
j) The columns of A from a linearly independent set
k) The linear transformation x -> Ax is one-to-one
l) $A^T$ is an invertible matrix

* 위 명제들이 equivalent하다는 것을 확인하기 위해 명제간의 관계를 살펴보자.

* b 명제는 a 명제에 의해 자연스럽게 증명된다. 

* c 명제는 b 명제에 의해 증명될 수 있다. Ax=0의 양 변에 n x n marix C를 곱하면 CAx=C0이 된다. b 명제에서 CA=I였기 때문에 ㅑx=0이 된다. 결국 x=0으로 x는 n차원의 0벡터라는 것을 알 수 있다. 즉, Ax=0의 solution x는 trivial solution인 것이다.

* d 명제는 c 명제에 의해 증명될 수 있다. c 명제에서 Ax=0은 trivial solution만을 가졌다. trivial solution을 가진다는 것은 모든 x에 대해 해가 존재한다는 것과 같고, 이에 따라 Chapter 1의 Theorem 4에 의해 모든 row에 pivot position이 존재해야 되기 때문에 d가 성립한다.

* f 명제는 b 명제와 같이 a 명제가 성립하면 자연스럽게 성립하는 명제이다.

* g 명제는 f 명제에 의해 증명될 수 있다. f 명제에 의하면 AD=I이다. 양 변의 b를 곱하면 ADb=Ib, ADb = b가 된다. 따라서 solution x는 Db가 된다. 때문에 $\mathbb{R}^n$ 에 있는 모든 vector b에 대해 solution이 존재한다고 볼 수 있다.

* h 명제는 g가 성립하면 자연스럽게 성립한다.

* i 명제는 g가 성립하기 때문에 자연스럽게 성립한다. onto의 조건은 $\mathbb{R}$^n 차원의 vector 에 b에 대해 최소한 하나의 solution이 존재하는 것이기 때문이다.

* j 명제는 c 명제가 성립하기 때문에 성립된다. homogeneous sysem Ax=0의 solution이 trivial solution 밖에 존재하지 않을 경우 이 system은 linearly independent하기 때문이다.

* k 명제는 d 명제에 의해 증명된다. 먼저 A는 square matrix이다. 또한 d 명제에 의하면 A는 모든 row에 pivot position이 존재한다.

* l 명제는 a에 의해 자연스럽게 성립한다.

 

살펴본 바와 같이 명제들 간의 관계가 유기적으로 연결되어 있기 때문에 모든 명제들이 equivalent하다.

 

Invertible Linear Transformations

* linear transformation $T : \mathbb{R}^n -> \mathbb{R}^n$ 은 만약 다음과 같은 관계가 성립하는 $S : \mathbb{R}^n -> \mathbb{R}^n$가 존재하면 invertible하다고 할 수 있다.

1. $S(T(x)) = x for all x in \mathbb{R}^n$

2. $T(S(x)) = x for all x in \mathbb{R}^n$

 

Theorem 9.
Let $T : \mathbb{R}^n -> \mathbb{R}^n$ be a linear transformation and A be the standard matrix for T.
Then T is invertible if and only if A is an invertible matrix. In that case, the linear transformation S given by $S(x)=A^{-1}x$ is the unique function satisfying 1 and 2.