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수학/Linear Algebra and its application13

2.1 Matrix Operations Matrix Notation * matrix notation은 위와 같다. Theorem 1. Let A, B and C be matrices of the same size, and let r and s be scalars 1) A + B = B + A 2) (A+B) + C = A + (B+C) 3) A + 0 = A 4) r(A+B)=rA + rB 5) (r+s)A = rA + sA 6) r(sA) = (rs)A * 각각의 Matrix는 column vector들로 이뤄져있기 때문에 vector의 성질을 그대로 만족하게 된다. Matrix Multiplication * m x n matrix A와 n x p matrix B의 곱 AB는 다음과 같이 나타낼 수 있다. $AB = A[b_1 b_2 ..... 2021. 12. 22.
1.9 The Matrix of a Linear Transformation How to demermine a matrix transformation * Ax=T(x)에서 matrix A를 몰라도 T(x) 즉, x의 image를 알고 있으면 A를 역으로 추적할 수 있다. * 항등함수의 성질에 따라 Ix=x이기 때문에 다음과 같이 vector $x=\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix}$ 를 정리할 수 있다. * 1.8 에서 배운 내용을 활용하면 T(u) + T(v) = T(u+v)이기 때문에 아래와 같이 $T(x)$를 $T(x_1e_1 + x_2e_2)$로 나눠 쓸 수가 있다. * 즉, matrix A는 $T(e_1), T(e_2)$로 이뤄져있다는 것을 알 수 있다. Theorem10. * 만약 $R^n$ 차원에서 $R^m$차원으로 linear .. 2021. 12. 20.
1.8 Introduction To Linear Transformations Matrix Multiplication * vector에 matrix를 곱하는 것은 vector를 다른 차원의 space로 이동시키는 것과 같다. Transformation * 어떤 vector의 space를 이동시키는 transformation(function, mapping으로 부를 수도 있음)은 vector x를 $R^n$ space에서 $R^m$ space의 T(x)에 할당하는 것과 같다. * T(x)를 x의 image라고 하고, image의 모든 셋을 뜻하는 T를 range라고 한다. * Transformation의 표기는 아래와 같이 3가지로 표현 가능하다. Example1) 동일한 차원에서의 transformation * 3차원 vector를 3차원 space에 transformation했다.. 2021. 12. 20.
1.7 Linear Independence Linearly Independent(선형 독립) * 만약 $R^n$ 차원의 벡터 {v1, v2, ... , vp} 들이 $x_1v_1, + x_2v_2 + ... + x_pv_p = 0$일 때(1.5에서 살펴본 Ax=0 형태의 homogeneous system이다), 1개의 trivial solution 즉, x=0의 해를 가질 때 linearly independent라고 한다. Linearly Dependent(선형 의존) * 만약 $R^n$ 차원의 벡터 {v1, v2, ... , vp} 들이 $x_1v_1, + x_2v_2 + ... + x_pv_p = 0$일 때, linearly independent와 달리 해 x가 not all zero, 즉 한 개라도 zero가 아닐 경우엔 linearly d.. 2021. 12. 20.