수학/Linear Algebra and its application13 1.5 Solution Sets of Linear Systems Homogeneous Linear System(동차선형계) * A가 m x n matrix이고, 0은 $R^n$ 차원의 vector라고 했을 때, Ax=0 형태로 나타내어지는 linear system을 Homogeneous Linear system이라고 한다. * 이 경우 해는 2가지 경우가 존재한다. 첫 번째는 x=0이다. 이 solution은 너무도 당연한 solution이라는 뜻에서 trivial solution이라는 이름으로 불린다. * 두 번째 경우는 무수히 많은 해가 존재할 경우이다. free variable이 하나라도 있다면, nontrivial solution 즉, 무수히 많은 해가 존재하게 된다. Exercise 1) Determine whether there is a nontrivial.. 2021. 12. 15. 1.4 The Matrix Equation The matrix equation Ax=b * A가 $R^{m \times n}$ space에 있는 matrix이고(n개의 vector로 구성된), x가 $R^n$ space에 있는 vector라고 했을 때 곱셈은 위와 같이 이뤄진다. * 그리고 그 결과 값은 $R^m$ space의 vector가 된다. * 실제 matrix와 vector로 예를 들면 아래와 같이 계산된다. Theorem 3 - if A is an m x n matrix, with columns $a_1, ..., a_n$, and if b is in $R^m$ matrix equation Ax = b vector equation $x_1a_1 + x_2a_2 + ... + x_na_n = b$ augmented matrix $[a_1.. 2021. 12. 13. 1.3 Vector Equations Vectors in $R^2$ vector * 1개의 column으로 이뤄진 matrix를 column vector 혹은 vector라고 부른다. * entry의 개수가 n개인 vector를 n차원 vector(vectors in $R^2$)라고 부른다. 만약 entry의 개수가 2개라면 2차원 벡터가 된다. Vector Summation * Vector summation은 위와 같이 element-wise하게 시행한다. Scalar Multiplication * scalar multiplication은 위와 같이 각 entry에 스칼라를 곱해주는 것을 뜻한다. Geometric Description of $R^2$ * vector의 표현은 왼쪽 그림과 같이 좌표를 나타내는 한 점으로 표현하거나, 오른쪽.. 2021. 12. 13. 1.2 Row Reduction and Echelon form A nonzero row or column * nonzero row, column는 특정 row나 column에 0이 아닌 값이 적어도 하나 존재할 경우를 뜻한다. A leading entry of row * leading entry는 column의 가장 왼 쪽에 있는 nonzero인 element를 뜻한다. * 위 augmented matrix에서 leading entry는 1, 4, 5가 된다. Echelon Form * Echelon Form matrix(사다리꼴 행렬)의 조건은 다음 2가지이다. 1) nonzero row들은 all zeros 위에 존재한다. 2) nonzero row들의 배열은 다음과 같다 : leading entry의 위치는 바로 위 row의 leading entry보다 오른쪽.. 2021. 12. 12. 이전 1 2 3 4 다음
