1.2 Row Reduction and Echelon form Exercise

* 선형 대수학을 정리하는 도중 자꾸 맘에 걸리는게 연습문제를 충분히 풀어보지 못 하는 것이었다. 그래서 연습문제 풀이 포스팅을 지속적으로 올려보려고 한다.

* 다만, 단순 계산에 대한 구현은 python으로 할 것이다. row reduction을 통해 echelon form을 생성하는 함수는 numpy에서 제공하지 않는다. 그대신 sympy에서 해당 함수를 제공하는 것을 확인하였다. 이번 포스팅은 sympy를 주로 활용할 것이다.

* 모든 문제를 다 풀어보지는 않고 출제의도가 중복된다고 판단하는 문제는 과감히 건너 뛰겠다.

* 혹시라도 포스팅을 보시는 분들께서 오류를 발견하면 댓글로 달아주시길 바랍니다.

 

Exercise 1)

* echelon form : d

- leading entry가 속한 column의 entry들이 non-zero가 아니다.

* reduced echelon form : a, b

* not echelon form : c

 

Exercise 2)

* python sympy를 이용해 reduced echelon form을 찾으면 다음과 같다.

M = Matrix([[1,-3,0,-1,0,-2],
            [0,1,0,0,-4,1],
            [0,0,0,1,9,4],
            [0,0,0,0,0,0]])

M.rref()

# (Matrix([
#  [1, 0, 0, 0, -3, 5],
#  [0, 1, 0, 0, -4, 1],
#  [0, 0, 0, 1,  9, 4],
#  [0, 0, 0, 0,  0, 0]]), (0, 1, 3))

* 변수의 개수가 5개임에도 불구하고 equation이 4개밖에 없기 때문에 inconsistent하며 무수히 많은 해가 존재하게 된다.

 

$x_1 + -3x_5 = 5$

$x_2 + -4x_5 = 1$

$x_4 + 9x_5 = 4$

 

* x_3, x_5은 free variable 이다.

* general solution은

 

$x_1 = 3x_5 +5$

$x_2 = 4x_5 +1$

$x_4 = -9x_5 + 4$

$x_3, x_5$ are free variables

 

* Theorem 2에 기반해 위 결과를 설명하자면, linear system에서 0=x와 같은 equation이 없기 때문에 일단 consistent하다. 그렇다면 unique solution인지 infinitely many solutions인지 확인해야 하는데, free variable이 있기 때문에 infinitely many solutions라고 판단할 수 있다.

 

 

참고 

Theorem 2. Existence and Uniqueness Theorem
- linear system이 consistent하다면, row reduction을 통해 echelon form을 도출했을 때 0=x와 같은 형태의 row가 존재하지 않는다.
- 또한 linear system이 consistent하다면 solution set은 다음 두 가지 경우이다. 
1) Unique solution : free variable이 없다.
2) Infinitely many solutions : 최소 1개의 free variable이 있다.

 

 

Exercise 3)

 

a의 경우)

* a의 pivot position을 보면 free variable이 없다는 것을 확인할 수 있다. 이를 통해 consistent하고, unique solution이라는 것을 알 수 있다.

 

b의 경우)

* b는 free variable이 존재한다. $x_1, x_4$가 free variable이다. 그런데 그 이전에 b는 inconsistent하다. 0=x와 같은 형태의 equation이 matrix 내에 존재하기 때문이다.

 

 

 

 

Exercise 4)

 

17)

 

$ \begin{bmatrix} 2 & 3 & h \\ 0 & 0 & {7-2h} \end{bmatrix} $ 

 

$ \begin{bmatrix} 1 & 3/2 & h/2 \\ 0 & 0 & {7-2h} \end{bmatrix} $ 

 

* consistent하기 위해서는 두 번째 행이 0=x의 형태가 되지 않아야 하고, 7-2h = 0이 되어야 하기 때문에 h는 7/2 가 되어야 한다.

 

 

18) 

 

$ \begin{bmatrix} 1 & -3 & -2 \\ 5 & h & -7 \end{bmatrix} $ 

 

$ \begin{bmatrix} 1 & -3 & -2 \\ 0 & h+15 & 3 \end{bmatrix} $ 

 

* consistent하기 위해서는 두 번째 행이 0=x의 형태가 되지 않아야 하기 때문에 $h+15 \neq 0$이 되어야 한다.

 

 

Exercise 5)

a) reduced echelon form으로 도출된 matrix는 unique하다. theorem 1에 해당 내용이 나와있다. False

b) 어떠한 matrix에도 적용 간으하다.  True

c) pivot column에 해당하는 variable들만이 basic variable이다. True

d) 여기서 말하는 parametric description이 뭔지 한참 고민했는데, 책에 해당 내용을 언급한 바 있었다. 아래와 같이 변수들을 통해 나타낸 solution set을 parametric description이라고 한다. parametric decription을 찾는 것은 당연히 solution set을 찾는 것과 같다. True

e) 위 행을 식으로 나타내면 $x_4 = 0$이다. 이 것 만으로는 inconsistent하다는 것을 확신하지 못한다. 만약 5가 가장 마지막 entry에 위치했다면 $0 = 5$가 되어 inconsistent할 수 있었을 것이다. False

 

 

 

Exercise 6)

a) echelon form은 unique하다. True

b) row interchange 여부와 pivot position의 존재 여부는 전혀 관련 없다. False

c) forward phase는 echelon form을, backward phase는 reduced echelon form을 생성할 때 사용된다.

d) free varaible의 존재만으로 무수히 많은 해가 존재한다고 단정지을 수는 없다. 일단 0=x 형태의 equation이 존재하지 않는 것을 통해 consistent하다는 전제가 있어야 한다.

e) 맞다 True

 

 

Exercise 7)

* 만약 3 x 5 matrix에 3개의 pivot 이 존재한다면, 무조건 consistent하다. pivot이 3개 존재한다는 것은 어느 행에서도 [0 0 0 0] 과 같은 형태가 존재하지 않는다는 것을 뜻하기 때문이다. 만약 [0 0 0 0]과 같은 행이 있다면 coefficient matrix이기 때문에 해당 equation의 우변이 0인지 아닌지를 확인하는 것을 통해 consistent 여부를 확인할 수 있다.

 

 

 

Exercise 8)

* inconsistent하다. pivot column 보다 앞 쪽의 column들은 모두 0일 것이기 때문에 해당 행은 [0 0 0 0 1]과 같은 형태일 것이다.