1.7 Linear Independence

 

a) 말장난 같지만, 'trivial solution만 존재' 해야 한다. homogeneous solution다시 말해 'only has the trivial solution'일 경우만 True가 된다 -> False

b) 모든 벡터들이 다른 벡터들의 linear combination으로 표현 가능한 것은 아니다. 단 하나의 벡터가 다른 벡터들의 linear combination으로 표현 가능해도 linear dependent하다고 정의하기 때문이다. -> False

c) 행 개수가 n이고, 열 개수가 p일 때, p > n 이라면, equation보다 더 많은 변수들이 존재하게 된다. 때문에 free variable이 무조건 존재할 수밖에 없고, 이에 따라 homogeneous system은 nontrivial solution을 가지게 된다. 결국 lineary dependent가 된다 -> True

d) True

 

 

a) 다시

b) entry의 개수가 n이고, vector의 개수가 p일 때 p > n이라면 variable의 개수보다 column의 개수가 많기 때문에 모든 column에 pivot이 존재할 수 없고, 이에 따라 homogeneous system의 solution이 nontrivial이 되어 linearly dependent한 것은 맞다. 하지만, 반대로 n > p 이라고 무조건 linearly independent한 것은 아니고, free variable이 존재하지 않아야 가능하다. -> False

c) True

d) linearly dependent하다고 entry 개수보다 vector 개수가 더 많은 것은 아니다. 앞서 살펴본 명제의 역은 성립하지 않는다 -> False

 

33) 한 개 이상의 벡터가 다른 벡터들의 linear combination으로 표현 가능하면 linearly dependent이다 -> True

34) $v_3$이 0이면 다른 벡터에 0을 곱해서 표현 가능하므로 linearly dependent이다 -> True

35) $v_2$가 $v_1$ 의 scalar multiplication으로 표현 불가능하면 $v_1$을 $v_2$의 scalar multiplication으로 표현 하는 것도 불간으하다 -> False

36) 모든 벡터들이 다른 벡터들의 linear combination으로 표현 불가능해야 linearly independent이다 -> False

37) True

38) True

 

* 모든 b에 대해 최대 1개의 solution이 존재한다고 했다. 이에 다라 b=0일 때도 최대 1개의 solution이 존재(정확히 말하면 Ax = 0이 no solution을 가질 순 없으니, 1개의 solution이 존재하게 된다)하게 되는데 이 때 1개의 solution을 가진다는 것은 trivial solution을 가진다는 것과 같고, 이 경우 A의 column들이 linearly independent하다.

 

 

*  위 문제에서 구한 matrix B의 column vector matrix A에서 선형 독립인 column vector들의 set과 같다.