* 위와 같이 matrix를 여러 개의 sub matrix로 표현한 것을 partitioned matrix 혹은 block matrix라고 부른다.
Partitioned Matrix 연산
1) Addition
* A, B matrix의 크기가 같고, 동일한 방식으로 partitioned 된 상태라면 같은 index의 partition끼리 더해준다.
2) Scalar Multiplication
* 각 partition을 곱하거나 전체에 곱하거나 동일한 결과를 얻을 수 있다.
3) Multiplication of Partitioned Matrices
* 기본적으로 A의 column 개수와 B의 row 개수가 같아야 한다.
* 그리고 partition끼리 곱해지는 것이므로 A의 column을 partition으로 나누는 방식과 B의 row를 partition으로 나누는 방식이 같아야 한다.
* 마지막으로 곱할 때는 위와 같이 각 partition을 원소로 취급하여 곱해주면 된다.
* 위 조건들이 성립해 A와 B의 partition들 간의 곱셈이 가능할 때 'A와 B의 partition들은 block multiplication에 대하여 conformable하다' 고 표현할 수 있다.
Theorem 10. Column-Row Expansion of AB If A is m x n and B is n x p, then
* 위 $col_1(A), col_2(A), ... , col_n(A)$과 $row_1(B), row_2(B), ... , row_n(B)$는 각각 1개 단위로 column을 나눈 partition들, 1개 단위로 row를 나눈 partition들을 의미한다. A, B matrix를 이와 같이 partition된 matrix라고 본다면 두 matrix간의 곱은 위 결과와 같이 계산할 수 있게 된다.
Inverse of Partitioned Matrices
* partitioned marix의 inverse marix를 구하는 방법을 알아보자.
* matrix A가 invertible할 조건을 만족한다고 가정해보겠다.
* $A_{11}$은 p x p , $A_{22}$는 q x q 크기인 square matrix들이다.
* 이 때 matrix A를 block upper triangular 라고 한다. 만약 $A_{12}$가 0이라면 block diagonal matrix라고 부른다.
* 만약 matrix A의 inverse marix가 B라면 아래와 같이 쓸 수 있다. 우변의 matrix는 (p+q) x (p+q) 크기의 Identity matrix이다.
* 이 때 계산은 다음과 같이 이뤄질 것이다.
1) $A_{11}B_{11} + A_{12}B_{12} = I_p$
2) $A_{11}B_{12} + A_{12}B_{22} = 0$
3) $A_{22}B_{21} = 0$
4) $A_{22}B_{22} = I_p$
* 먼저 chapter 2.3의 theorem 8에 의해 4) 식의 $A_{22}$ matrix는 square marix이므로 invertible하다. 때문에 아래와 같은 관계를 유도할 수 있다.
4-1) $B_{22} = {A_{22}}^{-1}$
* 또한 ${A_{22}}^{-1}$이 invertible하기 때문에 3) 식으로부터 아래와 같은 식을 유도할 수 있다.
3-1) $B_{21} = {A_{22}}^{-1} 0 = 0$
* 식 3-1)의 결과를 식 1)에 적용하면 다음과 같은 식을 유도할 수 있다.
1-1) $B_{11} = {A_{11}}^{-1}$
* 식 4-1)의 결과를 식 2)에 적용하면 다음과 같은 식을 유도할 수 있다.
2-1) $B_{11} = {-A_{11}}^{-1}A_{12}{A_{22}}^{-1}$
* 식 1-1), 2-1), 3-1), 4-1) 을 유도해 냄으로서 B matrix의 partition들을 모두 A matrix의 partition들을 활용한 notation으로 표현할 수 있게 되었다. 이 notation들을 matrix B의 partition들에 적용하면 다음과 같은 inverse matrix를 도출할 수 있다.
