1.2 Inner Product
norm
* norm은 벡터의 길이를 나타낼 때 사용된다.
* 벡터의 norm은 원점에서부터 점 $P(x_1, x_2, ... , x_n)$ 까지의 거리를 의미한다.
* norm을 표기할 때는 보통 제곱을 생략한다. $||x||^2$와 같이 쓰지 않고 $||x||$와 같이 많이 쓴다.
* 두 벡터간의 거리도 norm으로 표현 가능하다.
Inner Product(Dot Product)
내적의 정의
* 내적은 $<x, y>$ 혹은 $y^T x$와 같이 나타낼 수도 있다.
내적의 성질
* 실수의 사칙연산에서 사용하던 성질과 크게 다르지 않다.
Cauchy-Schwarz inequality
* $\mathbb R^n$차원의 벡터 x, y에 대해 다음이 성립한다.
* 두 벡터 x, y의 내적의 절댓값은 각 벡터의 노름의 곱보다 작거나 같다.
* 등호가 성립할 경우는 x, y 중 하나가 다른 것의 실수배일 경우만 성립한다.
두 벡터 사이의 각
* $\mathbb R^n$의 벡터 x, y의 사잇각 $\theta$에 대해 위와 같은 식이 성립한다.
직교(Orthogonal)
* $x \bullet y$ = 0 일 때 vector x와 y는 직교한다.
평행
* x = ky 일 때 두 벡터 x, y는 평행하다.
벡터의 종류
단위 벡터(Unit Vector)
* 길이가 1인 벡터
* 0벡터가 아닌 임의의 벡터 x에 ${1 \frac ||x||}$ 배()를 해주면 unit vector가 된다.
정규직교벡터(Orthonormal Vector)
* 벡터 x, y가 직교하면서, 각각 단위벡터라면 orthonormal vector라고 한다.
벡터에 대한 삼각부등식
* 등호는 x, y중 하나의 벡터가 다른 벡터의 $k \geq 0$ 배일 때만 성립한다.
Standard Unit Vector
* $\mathbb R^n$ 차원에 존재하는 단위벡터 중 위 n개의 벡터를 standard unit vector라고 한다.
* Standard unit vector를 사용하면 $\mathbb R^n$ 의 모든 벡터를 표현할 수 있다.
1.3 직선과 평면의 벡터방정식
직선의 방정식(기울기(방향벡터)와 한 점)
Projection 정의
* $\mathbb R^3$에 속하는 벡터 x, y가 있고, $x \neq 0$ 일 때 벡터 y의 끝점 P에서 x에 내린 수선의 발을 S라고 할 때 벡터 p를 projection y onto x라고 한다.
* 이 때 vector $w = y - p$를 x에 직교인 y의 벡터성분(vector component)라고 한다.
Projection 정리
* p가 x에 평행이므로 p = tx이다.
* y-p는 x에 직교이므로, x * (y-p) = 0이다.
* $x * (y - p) = 0$을 다시 정리하면 $x*(y-p) = x*y - x*p = x*y - tx*x = 0$이다. 이 식을 정리하면 위 projection 정리를 도출할 수 있다.